Ֆունկցիաներ

Ընդհանուր նկարագիր

Ֆունկցիան մաթեմատիկայի հիմնական հասկացություններից է, որը ցույց է տալիս մի փոփոխականի կախումը մյուսից։ Այն նշանակում են ՝f(x)=y

Այն դեպքում , երբ X բազմության յուրաքանչյուր տարրի համապատասխանում է միայն մեկ տարր Y բազմությունից, անվանում են ֆունկցիա. Ֆունկցիան կարող է ներկայացվել մի քանի ձևով, օրինակ՝ աղյուսակով, բանաձևով կամ գրաֆիկով։Ֆունկցիաները ամենուր տարածված են մաթեմատիկայի մեջ և կարևոր են գիտության մեջ ֆիզիկական հարաբերություններ ձևավորելու համար: Ֆունկցիայի ժամանակակից սահմանումը առաջին անգամ տրվել է 1837 թվականին գերմանացի մաթեմատիկոս Պիտեր Դիրիխլեի կողմից. Սկզբում ֆունկցիա հասկացությունը չէր տարբերվում վերլուծական ներկայացման հասկացությունից։ 19-րդ դարի վերջում ֆունկցիա հասկացությունը գերազանցել էր թվային համակարգերի շրջանակը։ Սկզբում ֆունկցիա հասկացությունը տարածվեց վեկտորային ֆունկցիաների վրա, շուտով ներկայացվեց տրամաբանական ֆունկցիաները , իսկ բազմությունների տեսության հայտնվելուց հետո Դեդեկինդը և Պեանոն  ձևակերպեցին ժամանակակից ունիվերսալ սահմանումը։

Ֆունկցիան անվանում են թվային եթե X և Y բազմությունների տարրերը թվեր են:

Ընդհանուր գործառույթներ


Շատ լայնորեն օգտագործվող մաթեմատիկական բանաձևեր հայտնի ֆունկցիաների արտահայտություններ են: Օրինակ՝ շրջանագծի մակերեսի բանաձեւը՝ A = πr2, տալիս է A կախյալ փոփոխականը որպես անկախ r փոփոխականի (շառավիղ) ֆունկցիա։ Երկուսից ավելի փոփոխականներ պարունակող ֆունկցիաները նույնպես տարածված են մաթեմատիկայում: Ֆիզիկական սահմանափակումները ստիպում են անկախ փոփոխականներին լինել դրական թվեր: Երբ անկախ փոփոխականներին նույնպես թույլատրվում է ընդունել բացասական արժեքներ, այսինքն՝ ցանկացած իրական թիվ, ֆունկցիաները հայտնի են որպես իրական արժեք ունեցող ֆունկցիաներ:

Բազմանդամ ֆունկցիաներին կարելի է երկրաչափական պատկեր տալ անալիտիկ երկրաչափության միջոցով: x անկախ փոփոխականը գծագրվում է x առանցքի երկայնքով (հորիզոնական գիծ), իսկ կախյալ y փոփոխականը՝ y առանցքի երկայնքով (ուղղահայաց գիծ): Երբ x-ի և y-ի միջև հարաբերության գրաֆիկը գծվում է x-y հարթությունում, հարաբերությունը ֆունկցիա է, եթե ուղղահայաց գիծը միշտ անցնում է գրաֆիկական կորի միայն մեկ կետով. այսինքն՝ յուրաքանչյուր x-ին կհամապատասխանի միայն մեկ f(x) կետ, որը ֆունկցիայի սահմանումն է։ Այնուհետև ֆունկցիայի գրաֆիկը բաղկացած է կոորդինատներով կետերից (x, y), որտեղ y = f(x): Օրինակ՝ f(x) = x3 − 3x + 2 խորանարդ հավասարման գրաֆիկը ներկայացված է նկարում։

graphs of some trigonometric functions

Քառակուսային ֆունկցիա

y=ax2+bx+c, որտեղ a,b,c∈R և a≠0  ֆունկցիան կոչվում է քառակուսային ֆունկցիա:

y=ax2+bx+c ֆունկցիայի որոշման տիրույթը բոլոր իրական թվերի R բազմությունն է:  Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլ է: y=x2 ֆունկցիան քառակուսային ֆունկցիայի մասնավոր դեպք է՝  a=1, b=0, c=0: 

x2o.PNG

Գծային ֆունկցիա

y=kx+b տեսքի ֆունկցիան, որտեղ k-ն և b-ն տրված թվեր են, անվանում են գծային ֆունկցիա: y=kx+b գծային ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է, որը զուգահեռ է y=kx ֆունկցիայի գրաֆիկին և ստացվում է դրանից զուգահեռ տեղափոխությամբ b միավորով:

Նույն կերպ՝ զուգահեռ տեղափոխելով y=4x ֆունկցիայի գրաֆիկը դեպի ներքև 2 միավորով՝ ստանում ենք y=4x−2 ֆունկցիայի գրաֆիկը (տես ներքևի նկարը): 

քք.png

 Նկարի երեք ուղիղները իրար զուգահեռ են և ունեն նույն k=4 գործակիցը: Այդ պատճառով՝y=kx+b գծային ֆունկցիայի k թիվը անվանում են անկյունային գործակից: Այսպիսով՝ նույն անկյունային գործակցով ուղիղները զուգահեռ են: Եթե k>0, ապա y=kx+b ուղիղը x-երի առանցքի դրական ուղղության հետ կազմում է սուր անկյուն, եթե k<0, ապա այդ անկյունը բութ է: Եթե y=kx+b բանաձևում տեղադրենք x=0, ապա կստանանք՝ y=b: Այսպիսով՝ (0;b) կետը միշտ պատկանում է y=kx+b գծային ֆունկցիայի գրաֆիկին, իսկ b թիվը ցույց է տալիս, թե որ կետում է ուղիղը հատում y-ների առանցքը:

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *