Վարժ. 131

ա) sin27°cos3°+cos27°sin3°=sin30°=1/2=0,5

բ) cos87°cos27°+sin87°sin27°=cos60°=1/2=0,5

Վարժ. 132

ա)(sin π/15 +cos π/10)² + (cos π/15 +sin π/10)²=3

sinπ/15² + 2sinπ/15cos×π/10 + cosπ/10²+cosπ/15²+2cosπ/15×sinπ/10 + sin π/10²=2+( 1/2 -sinπ/30)+( 1/2 +sinπ/30)=2+ 1/2 -sinπ/30+1/2+sinπ/30=3

բ) (cos π/9 -cos 2π/9)² + (sin π/9 +sin 2π/9)²=1

cos π/9² – 2cos π/9×cos 2π/9 + cos 2π/9² + sin π/9 + 2sin π/9×sin 2π/9 + sin 2π/9²=2-(cos π/9 + 1/2)+cos π/9 -1/2=2-cos π/9 – 1/2 + cos π/9 – 1/2=1

Վարժ. 133

ա) cos23°-tg22°sin23°/sin8°+tg22°cos8°=√2

cos23°-sin22°/cos22°×sin23° / sin8°+sin22°/cos22°×cos8°=cos(23°+22°)/sin(22°+8°)=cos45°/sin30°=√2/2×2/1=√2

Վարժ. 137

ա) ( 5(m-2)/m³-8 – m+2/m²+2m+4 ) × 2m²+4m+8/m-3=( 5(m-2)/(m-2)×(m²+2m+4)-m+2/m²+2m+4)×2(m²+2m+4)/m-3=5-(m+2)/m²+2m+4×2(m²+2m+4)/m-3=-(m-3)×2/m-3=-1×2=-2

բ) (n+2/3n -2/n-2 -n-14/3n²-6n)÷n+2/6n×1/n-5=(n+2/3n-6n+n-14/3n×(n-2))×6n/n+2×1/n-5=(n+2/3-7/3n)×6n/n+2×1/n-5=n+2-7/3n×6n/n+2×1/n-5=n-5/3×6/n+2×1/n-5=2/n+2

Վարժ. 126

ա) cos(π/4-α)=cosπ/4 cosα + sinπ/4 sinα=√2/2 × cosα + √2/2 sinα=(cosα+sinα)√2/2

բ) cos(π/4+α)=cosπ/4 cosα – sinπ/4 sinα=√2/2 × cosα – √2/2 sinα=(cosα-sinα)√2/2

գ) sin(π/4-α)=sinπ/4 cosα – cosπ/4 sinα=√2/2 × cosα – √2/2 sinα=(cosα-sinα)√2/2

դ) sin(π/4+α)=sinπ/4 cosα + cosπ/4 sinα=√2/2 × cosα + √2/2 sinα=(cosα+sinα)√2/2

ե) tg(π/4+α)=tgπ/4+tgα / 1-tgπ/4tgα=1+tgα/1-tgα

զ) tg(π/4-α)=tgπ/4-tgα / 1+tgπ/4tgα=1-tgα/1+tgα

Վարժ. 127

ա) α=15°
sinα=sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=√2/2×√3/2-√2/2×√1/2=√6/4-√2/4=√6-√2 / 4
cosα=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=√2/2×√3/2+√2/2×√1/2=√6/4+√2/4=√6+√2/4
tgα=tg15°=tg(45°-30°)=tg45°-tg30° / 1+tg45°tg30°=1-√3/3 / 1-(1×√3/3)=3-√3/3 / 3+√3/3=3-√3 / 3+√3=9-6√3+3/6=12-6√3/6=6(2-√3)/6=2-√3
ctgα=ctg15°=ctg(45°-30°)=ctg45°ctg30°+1/ctg30°-ctg45°=1√3+1/√3-1=3+2√3+1/2=4+2√3/2=2(2+√3)/2=2+√3

բ) α=75°
sinα=sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=1/2×2√2+3√2×√2/2=√2/4+√6/4=√2+√6/4=√2(√3+1)/4
cosα=cos75°=cos(30°+45°)=cos30°cos45°-sin30°sin45°=3√2×√2/2-1/2×2√2=√6/4-√2/4=√6-√2/4=2(√3-1)/4
tgα=tg75°=(30°+45°)=tg30°+tg45°/1-tg30°tg45°=√3+3/3-√3=(√3+3)²/6=3+6√3+9/6=12+6√3/6=6(2+√3)/6=2+√3
ctgα=tg75°=(30°+45°)=ctg30°ctg45°-1/ctg30°+ctg45°=√3-1/√3+1=(√3-1)²/2=3-2√3+1/2=4-2√3/2=2(2-√3)/2=2-√3

գ) α=105°
sinα=sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=√2/2×1/2+√2/2×√3/2=√2/4+√6/4=√2(√3+1)/4
cosα=cos105°=cos(45°+60°)=cos45°cos60°-sin45°sin60°=√2/2×1/2-√2/2×√3/2=√2/4-√6/4=-√2(√3-1)/4
tgα=tg105°=tg(45°+60°)=tg45°tg60°/1+tg45°tg60°=(1+√3)×(1+√3)/-2=(1+√3)²/-2=-4+2√3/2=-(2+√3)=-2-√3
ctgα=ctg105°=ctg(45°+60°)=ctg45°ctg60°-1/ctg45°+ctg60°=√3-3/3+√3=(√3-3)×(3-√3)/6=6√3-12/6=6(√3-2)/6=√3-2

դ) α=165°
sinα=sin165°=sin(30°+135°)=sin30°cos135°+cos30°sin135°=1/2×(-√2/2)+√3/2×√2/2=√2(√3-1)/4
cosα=sin165°=sin(30°+135°)=cos30°cos135°-sin30°sin135°=√3/2×(-√2/2)-1/2×√2/2=-√2(√3+1)/4
tgα=tg165°=tg(30°+135°)=tg30°+tg135°/1-tg30°tg135°=√3-3/3+√3=(√3-3)×(3-√3)/6=6√3-12/6=6(√3-2)/6=√3-2
ctgα=ctg165°=ctg(30°+135°)=ctg30°ctg135°-1/ctg30°+ctg135°=-√3-1/√3-1=(-√3-1)×(√3+1)/2=-4-2√3/2=2(-2-√3)/2=-2-√3

Վարժ. 129

ա) √2 sin(π/4+α)-sinα=√2(sinπ/4+cosα + cosπ/4 sinα)-sinα=2(cosα+sinα)/2 – sinα=cosα+sinα-sinα=cosα

բ) √2 cos(π/4-α)-cosα=√2(cosπ/4+cosα + sinπ/4 sinα)-cosα=2(cosα+sinα)/2 – cosα=cosα+sinα-cosα=sinα

գ) 2sin(π/6+α)-cosα=2(sinπ/6cosα + cosπ/6 sinα)-cosα=2× cosα+√3sinα/2 -cosα=cosα+√3sinα-cosα=√3sinα

դ) √2 cos-2cos(π/4+α)=√2 cos-2(cosπ/4 cosα-sinπ/4 sinα)=√2cosα-(√2cosα-√2sinα)=√2cosα-√2cosα+√2sinα=√2sinα

Վարժ. 130

ա) √2 cos(3π/4 +α)+cosα / √2 cos(5π/4 -α)+sinα=√2(cos 3π/4 cosα-sin 3π/4 sinα)+cosα / √2(cos 5π/4 cosα+sin 5π/4 sinα)+sinα=-cosα-sinα+cosα/-cosα-sinα+sinα=-sinα/-cosα=tgα

բ) sin(2π/3 +α)+1/2 ×sinα / sin(7π/6 -α)+1/2 ×cosα= sin(2π/3 +α)+sinα/2 / sin(7π/6 -α)+cosα/2=√3 cosα / √3 sinα=cosα/sinα=ctgα

1. Երկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը հավասար է 18-ի: Կարո՞ղ է այդ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հավասար լինի 240-ի:
240 չի բաժանվում ոչ 18ի 36ի =>ոչ։

2. Սեղանին դրված են մետաղադրամների 6 խումբ, ընդ որում՝ առաջին խմբում կա 1 մետաղադրամ, երկրորդում՝ 2, երրորդում՝ 3, չորրորդում՝ 4, հինգերորդում՝ 5, իսկ վեցերորդում՝ 6 մետաղադրամ: Թույլատրվում է յուրաքանչյուր քայլում խմբերից որևէ երկուսում ավելացնել մեկական մետաղադրամ: Հնարավո՞ր է, որ ինչ-որ քայլից հետո բոլոր խմբերում լինեն հավասար քանակությամբ մետաղադրամներ:

3. 20սմ կողով խորանարդը ներկելու համար պահանջվեց 20 գրամ ներկ: Քանի՞ գրամ ներկ է անհրաժեշտ 40սմ կողով խորանարդը ներկելու համար:

4. Արամն ու Բաբկենը միասին հավաքեցին 3 անգամ ավելի շատ սունկ, քան` Գեղամը, Բաբկենն ու Գեղամը միասին` 4 անգամ ավելի շատ, քան` Արամը: Բաբկե՞նն ավելի շատ սունկ հավաքեց, թե՞ Արամն ու Գեղամը միասին:

5. Վարդանը գումարեց ամսվա բոլոր հինգշաբթի օրերի ամսաթվերը և ստացավ 85: Ի՞նչ թիվ կստանար Վարդանը, եթե գումարեր այդ ամսվա բոլոր ուրբաթ օրերի ամսաթվերը:

6. Ինչ-որ բնական թիվ 21-ի բաժանելիս քանորդում և մնացորդում ստացվում են հավասար թվեր: Այդ նույն թիվը 33-ի բաժանելիս քանորդում և մնացորդում նույնպես ստացվում են հավասար թվեր: Գտի՛ր այդ թիվը:

7. Ամանում դրված է տանձ և խնձոր: Երբ երեխաները կերան խնձորի 1/3 մասը, ամանում մնաց ամբողջ մրգի 3/4 մասը: Սկզբում ամանում եղած մրգերից ո՞րն էր շատ և քանի՞ անգամ:

8. Հարթության վրա տրված են նույն շառավղով երեք շրջանագծեր։ Գտի՛ր AK +KC+KE աղեղների աստիճանային չափերի գումարը:

9. Արամը ոտքով տնից գնում է դպրոց: Տնից դուրս գալուց 7 րոպե հետո նրան մնում է անցնելու ևս 640մ, իսկ 11 րոպե հետո՝ ևս 320մ: Որքա՞ն է տնից դպրոց եղած հեռավորությունը (ամբողջ ճանապարհին արագությունը հաստատուն է մնացել):

7ր – 640մ 4ր – 320մ
11ր – 320մ 1ր – 80 մ 560մ+640մ=1200մ

10. ABCD քառակուսու կողմը 10 է: BC կողմի վրա վերցված է M կետն այնպես, որ BM:MC=4:6, իսկ CD կողմի վրա վերցված է N կետն այնպես, որ CN:ND=8:2: Գտի՛ր AMN եռանկյան մակերեսը:
S= a*b/2
S1=2*10/2=10
S2= 4*10/2=20
S3=6*8/2=24
Sքառ = 10*10=100
Sեռ=100-(10+20+24)= 46

1. Տասը լիտր աղաջուր պատրաստելու համար անհրաժեշտ է կես կիլոգրամ աղ։ Սովորողները Թթուդրիկին որքա՞ն աղ պետք է օգտագործեն՝ ութ ու կես լիտր աղաջուր պատրաստելու համար։
10->500գ
8.5->xգ
x= 8.5*500/10= 425 գ

2. Գտնելով օրինաչափությունը՝ լրացրո՛ւ բաց թողնված թիվը՝ 8, 18, 38, 78,___, 318:
Ամեն անգամ թվին գումարվում է թախորդ թվին գումարված արժեքի կրկնակին=>
8+10=18
18+20=38
38+40=78
78+80=158
158+160=318

3. Գտի՛ր շրջանով ծածկված թիվը:

18:

4. Կ, ո, դ տառերից յուրաքանչյուրին համապատասխանում է 0-ից 9 թվանշաններից որևէ մեկը: Բացի՛ր կողպեքը՝ օգտվելով հետևյալ հուշումներից․ 682 թվի մեջ թվանշաններից մեկը ճիշտ է գրված և իր տեղում է (ճիշտ կարգում է), 614 թվի մեջ թվանշաններից մեկը ճիշտ է գրված, սակայն իր տեղում չէ (ճիշտ կարգում չէ), 260 թվի մեջ թվանշաններից երկուսը ճիշտ են գրված, սակայն իրենց տեղերում չեն (ճիշտ կարգերում չեն), 738 թվի մեջ ճիշտ թվանշաններ գրված չեն, 438 թվի մեջ թվանշաններից մեկը ճիշտ է գրված և իր տեղում է (ճիշտ կարգում է):

206, 026:

5. Եթե բերքահավաքին հավաքած դեղձը բաժանենք 2 հավասար մասի, ապա 1 դեղձ կավելանա։ Հետաքրքիրն այն է, որ եթե հավաքած դեղձերը բաժանենք 3, 4, 6 կամ 7 հավասար մասերի, ապա ամեն դեպքում կավելանա ևս 1 դեղձ։ Հինգ հավասար մասի բաժանելու դեպքում ոչ մի դեղձ չի ավելանա։ Բերքահավաքին ամենաքիչը քանի՞ դեղձ հավաքեցին։

85:

6. Յոթ հատ 9-ի և թվաբանական գործողությունների միջոցով ստացի՛ր ամենափոքր եռանիշ թիվը։

(9:9+99)+(9-9):9+100

7. Նարնջագույն ներկ ստանալու համար պետք է իրար խառնել կարմիր և դեղին ներկերն այնպես, որ դեղինը 3 անգամ շատ լինի կարմիրից։ Ամենաշատը որքա՞ն նարնջագույն ներկ կարող ենք ստանալ, եթե ունենք 3 կգ կարմիր և 3 կգ դեղին ներկ։

4կգ:

8. Առաջին արկղը երկրորդից 7 անգամ ծանր է, իսկ երկրորդը առաջինից 90 կգ-ով թեթև է։ Գտի՛ր առաջին արկղի զանգվածը:

105կգ:

9. Չորսի բաժանվող քանի՞ եռանիշ թիվ կարող ես կազմել միայն 0, 1, 2, 5 թվանշանները օգտագործելով, եթե թվերից յուրաքանչյուրի գրառման մեջ թվանշանները չեն կարող կրկնվել։

120, 520, 512, 152
4 թիվ

10. Գտի՛ր 1000-ից փոքր այն բնական թվերի քանակը, որոնք 5-ի բաժանելիս մնացորդում ստացվում է 2:

180:

Անանիա Շիրակացին եղել է Անանիա գյուղից։ Նախնական կրթությունը հավանաբար ստացել է Դպրեվանքի դպրոցում։ Այդ ընթացքում նա սովորել է Աստվածաշունչը և Սողոմոնի Սաղմոսարան գիրքը, որի իմաստության խորհրդից ներշնչում քաղելով և համարողություն (թվաբանություն) սիրելով, որոշում է շարունակել ուսումը։ Սակայն Հայաստանում որևէ ուսուցիչ և գիտական գրքեր չգտնելով, մեկնում է Բյուզանդիա։ Թեուդոպոլիս քաղաքում Եղիազարոս անունով մի անձից լսում է Քրիստոսատուր անունով մի մաթեմատիկոսի մասին, որը ապրում էր Չորրորդ Հայքում։

Վեց ամիս Քրիստոսատուրի մոտ անցկացնելուց հետո գալիս է այն եզրակացության, որ նա սպառիչ չի տիրապետում թվաբանության։ Ապա ուզում է մեկնել Կոստանդինոպոլիս, երբ հանդիպում է այնտեղից եկող ծանոթների և լսում թե Տյուքիկոս Բյուզանդացի անվամբ մի գիտուն ապրում է Տրապիզոնում, որը գտնվում էր Պոնտոսի ծովեզրին։ Շիրակացին ութ տարի սովորում է Տյուքիկոսի մոտ, և այդ ընթացքում տիրապետում համարողական գիտությանը, ինչպես նաև ծանոթանում այլ գիտությունների և բազմաթիվ գրքերի հետ։ Ապա նա վերադառնում է Հայաստան և փորձում ուսուցանել իր գիտությունը։ Նա նաև բացում է դպրոց և գրում դասագրքեր։

Շիրակացու ձեռագրերը՝ նվիրված ճշգրիտ գիտություններին

Պահպանվել են նաև Շիրակացու «Տիեզերագիտությունը», «Կենդանակերպի համաստեղությունների մասին», «Ամպերի և մթնոլորտային նշանների մասին», «Արեգակի ընթացքի (շարժման) մասին», «Երկնքի շրջագայությունների (օդերևութաբանական երևույթների) մասին», «Ծիր կաթինի մասին» և այլ աշխատություններ։ Շիրակացին իր աշխատություններում բերում է եգիպտացիների, հրեաների, ասորիների, հույների, հռոմեացիների և հաբեշների մոտ ընդունված թվագրության սկզբունքները, խոսում է մոլորակների շարժման, Արևի և Լուսնի խավարումների և նրանց պարբերականության մասին և այլն։ Ընդունելով երկրի գնդաձևությունը՝ Շիրակացին կարծում է, որ արևը կարող է լուսավորել երկրի երկու կողմերը օրվա տարբեր ժամերին և երբ երկրի մի կողմում ցերեկ է, մյուսում՝ գիշեր։ Նա Ծիր Կաթինը համարում է խիտ և աղոտ աստղերի կուտակում”։ Պաշտպանում է այն գիտնականների կարծիքը, որոնք համարում են, որ Լուսինը սեփական լույս չունի և լույս ստանում է Արևի միջոցով։ Արևի խավարումը բացատրում է Լուսնի՝ Արևի և Երկրի միջև գտնվելով։ Շիրակացին ուշագրավ բացատրություններ է տալիս անձրևի, ձյան, կարկուտի, ամպրոպի, հողմերի, երկրաշարժի և բնության զանազան այլ երևույթների մասին։ Շիրակացու գրչին են պատկանում նաև մի շարք աշխարհագրական, պատմական աշխատություններ։

ՇԻՐԱԿԱՑՈՒ ԱՆՎԱՆ ԽԱՈՆԱՐԱՆ
ԼՈՒՍԵԻ ՎՐԱ
ԳՈՀԱՐ ՀԱՐՈՒԹՅՈՒՆՅԱՆ
Հայ մեծանուն մտածող Անանիա Շիրակացու անունով են
կոչվում ոչ միայն Երևանում գործող համալսարաններից մեկն
ու համանուն ճեմարանը, այլև Լուսնի մի մեծ խառնարան։

Խնդիրներ

1. Հին Աթենքում կար ջրհոր, որը լցվում էր 3 խողովակներից: Խողովակներից մեկը ջրամբարը լցնում էր 1 ժամում, մյուսը` 2 ժամում, իսկ երրորդը` 3 ժամում:
   3 խողովակները միասնի քանի՞ ժամում կլցնեն ջրհորը:
   

Լուծում

V/1*t+V/2*t+V/3*t=V
t+t/2+t/3=1
t=6/11 ժ

2. Սպաների աշխատավարձը բաշխվում էր այսպես․ 1/4 մասը՝ պատվազորներին, 1/8-ը ավագներին, իսկ մնացած 150 կենդինարը՝ մյուս հեծյալներին։ Իմացի՛ր, թե ամբողջ աշխատավարձը որքա՞ն էր։

Լուծում
1/4+1/8=2/8+1/8=3/8
8/8-3/8=5/8
5/8=150 կենդինար
150:5=30
30×8=240 կենդինար

Երրորդ մակարադակ

1. Հնարավո՞ր է արդյոք 1, 2, 3, …, 21 բնական թվերը բաժանել խմբերի այնպես, որ յուրաքանչյուր խմբի ամենամեծ թիվը հավասար լինի այդ խմբի մյուս թվերի գումարին։

Ոչ, քանի որ 2 և 1 թվերը 3-ի հետ արդեն օգտաործված կլինեն, 19ին և 20ին թիվ չի մնա գումարելու։

2. Հինգ տուփում միասին կա 77 մատիտ։ Առաջինում և երկրորդում միասին կա 15 մատիտ, երկրորդ և երրորդում միասին կա 35 մատիտ, երրորդ և չորրորդում միասին՝ 40 մատիտ, չորրորդում և հինգերորդում միասին՝ 32 մատիտ։ Յուրաքանչյուր տուփում քանի՞ մատիտ կա:

77-(15+40)=հինգերորդ տուփ

9, 6, 29, 11, 21

3. Կոմբայնը, հավասարաչափ աշխատելով, կարող է դաշտը հնձել 20 օրում: Քանի՞ օրում կավարտի հունձը, եթե աշխատանքային օրվա կեսը կոմբայնն աշխատի նախատեսվածից 2 անգամ ավելի արագ, իսկ կեսօրից հետո՝ նախատեսվածից 2 անգամ ավելի դանդաղ:

9օր-4օր

20օր-x

x=9 (8.8)

4. Տարբեր թվանշաններով գրվող քանի՞ եռանիշ թիվ կա, որ գրելաձևում չունի 3, 5, 7 թվանշանները:

6*6*5=180

5. Մայրուղու եզրին իրարից հավասար հեռավորությունների վրա տեղադրված են էլեկտրասյուներ։ Ավտոբուսը առաջինից մինչև չորրորդ էլեկտրասյունն անցնում է 12 վարկյանում: Ավտոբուսը քանի՞ վայրկյանում կանցնի առաջինից մինչև 16-րդ էլեկտրասյունը, եթե նրա արագությունը մնա անփոփոխ։

12/3=4

16*4=64

6. Նկարում պատկերված քառակուսին կազմված է սև քառակուսուց և իրար հավասար 4 ուղղանկյուններից: Յուրաքանչյուր ուղղանկյան պարագիծը 40սմ է: Գտի՛ր մեծ քառակուսու մակերեսը:

Նշ. մեծ կողմը a

փոքր կողմը b

2a+2b=40

a+b=20

S =(a+b)(a+b)=20*20=400

8. Քանի՞ հնգանիշ թիվ կարող ես ստանալ՝ 77733 թվի թվանշանները տեղափոխելով:

5!/(3!*2!)=10

9. Մայր կենգուրուն 1 վայրկյանում ցատկում է 3 մետր, իսկ նրա ձագը կես վայրկյանում ցատկում 1 մետր: Նրանք միաժամանակ մի ծառից ուղիղ գծով ցատկեցին մյուս ծառին: Քանի՞ վայրկյան մայր կենգուրուն պիտի սպասի վերջնակետում, եթե ծառերի հեռավորությունը 240մ է:

Մայր-3մ/վ – 80վ-ում կհասնի մյուս ծառին

ձագ-2մ/վ – 120վ-ում կհասնի մյուս ծառին

120-80=40վ

10. Տրված ABCD շեղանկյան B գագաթից տարված բարձրությունը DC կողմը բաժանում է երկու հավասար մասերի: Գտի՛ր <BAD-ն:

D և B անկյունները միացնում ենք, տանում ենք D-ից E1 բարձրություն AB-ին, ստանում ենք BE1DE քառակուսին, որտեղ բոլոր եռանկյունները հավասարասրուն են => <BAD-ն 45 աստիճան է: